在上一期中，我們看到在索末菲模型中，金屬的傳導(dǎo)電子的能量ε接近費(fèi)米能量ε F。由于這是一個(gè)半經(jīng)典模型，參考費(fèi)米速度 vF 和相對(duì)軌跡（繞過海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理）是合理的。換句話說，在上述模型中，量子效應(yīng)被納入費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)分布中，而不是單個(gè)電子的動(dòng)力學(xué)中。因此稱為半經(jīng)典模型。

我們將 e 表示為動(dòng)量（或沖量）p = m e v 的函數(shù)：

由此，費(fèi)米沖量被定義：

下一步是應(yīng)用德布羅意的假設(shè)（舊量子理論）：與電子相關(guān)的物質(zhì)波是具有傳播矢量的平面波：

 

等式（1）變?yōu)椋?/p>

這又將單個(gè)電子的能量表示為德布羅意波傳播矢量的笛卡爾分量的函數(shù)。因此，我們有一個(gè)由三個(gè)實(shí)變量組成的實(shí)函數(shù)，其圖形在 R 4中（無法可視化）。然而，我們可以追蹤上述函數(shù)的水平面，稱為等能面。更準(zhǔn)確地說，如果ε 0是能量的允許值，則相應(yīng)的等能面為：

即，以 k 空間（三維歐幾里得）原點(diǎn)為中心、半徑為R ( ε 0 ) 的球體。特別地，費(fèi)米球是表面S ( ε F )。具備量子素養(yǎng)的讀者可以識(shí)別波數(shù) k = |k|作為一個(gè)“好量子數(shù)”，k地定義了單個(gè)電子的量子態(tài)，專門參考了統(tǒng)計(jì)分布并從自旋中抽象出來。ε的定義源自對(duì)k 的函數(shù)依賴性，如方程 (4) 所示。

由于e 通過其模量取決于k ，因此 k 空間中能量ε的分布是各向同性的，因此相應(yīng)等能表面（球體）的點(diǎn)代表物理上不同的狀態(tài)，但具有相同的能量。在量子力學(xué)中，這通過斷言能級(jí)ε是無限簡(jiǎn)并度的簡(jiǎn)并來表達(dá)。更準(zhǔn)確地說， 2，即等于前述表面的點(diǎn)數(shù)。然而，我們必須考慮旋轉(zhuǎn)的自由度。一般來說，自旋引起的簡(jiǎn)并度寫為g s = 2 s + 1，其中s是所考慮粒子的自旋。對(duì)于電子，s = 1 / 2，因此g s?? = 2；事實(shí)上，任何自旋為 1 / 2 的狀態(tài)k（即，被自旋向上的電子占據(jù)）都不同于具有相同波數(shù)k但自旋為1 /2 （自旋向下）的狀態(tài)。

兩種狀態(tài)具有相同的能量；因此附加的簡(jiǎn)并度等于 2。請(qǐng)注意，由于上述狀態(tài)在物理上是不同的，因此并未違反泡利不相容原理。由于它們有無限多個(gè)，每個(gè)電子都被一對(duì)分別向上和向下自旋的電子占據(jù)，因此可以考慮實(shí)際上無限數(shù)量的電子，這些電子與所考慮的晶體的理論上無限延伸相兼容（因此不破壞晶格的周期性）。

根據(jù)索末菲模型，對(duì)金屬導(dǎo)電性有貢獻(xiàn)的電子是那些狀態(tài)“分配”在 k 空間費(fèi)米球上的電子。這些狀態(tài)的分布是各向同性的，因此對(duì)于替換 k -> – k 是對(duì)稱的。由于 k 通過方程（3）與單個(gè)電子的動(dòng)量 p 相關(guān)，因此總動(dòng)量為零，電流（電流密度）也將為零。施加均勻靜電場(chǎng) E，轉(zhuǎn)化為作用在單個(gè)電子上的恒定力 F = e E。

根據(jù)動(dòng)量定理，電子動(dòng)量隨時(shí)間的變化δt為δ p = F δt，其對(duì)應(yīng)于等式（3）中的δ k。由此可見，電場(chǎng)的作用在于將費(fèi)米球轉(zhuǎn)化為k空間。這破壞了各向同性，從而破壞了 k 和 k 之間的對(duì)稱性。結(jié)果是非零的總動(dòng)量，因此是凈電荷流。電場(chǎng)的瞬時(shí)關(guān)閉重建了初始配置（沒有電流），將費(fèi)米球的中心移動(dòng)到 k 空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)。這幾乎是通過涉及電子晶格碰撞的統(tǒng)計(jì)機(jī)制立即發(fā)生的。

金屬中的回旋共振

在之前的教程中，我們看到，在半導(dǎo)體中，通過測(cè)量平行于 B 0傳播的平坦單色電磁波的吸收，可以測(cè)量由應(yīng)用均勻靜磁場(chǎng) B 0產(chǎn)生的回旋加速器頻率ω c 。對(duì)于金屬，由于以下原因，該技術(shù)難以實(shí)施：

金屬幾乎完全反射電磁波，除非我們使用頻率ω > ω p ，其中ω p 是等離子體頻率，與傳導(dǎo)電子1數(shù)量的密度 n 成正比。由于對(duì)于金屬n 的量級(jí)為10 23 cm -3，因此我們有10 16 rad/ s量級(jí)的ω p ，其對(duì)應(yīng)于頻率f p約為10 4 GHZ

頻率ω > ω p的電磁波的穿透深度δ相對(duì)較低（集膚效應(yīng)）。對(duì)于頻率f = 1 GHz，d的典型值約為10 -5 cm；δ識(shí)別給定金屬，即所謂的皮膚區(qū)域

如前所述，大多數(shù)金屬的費(fèi)米面與球形不同。這破壞了單電子能量分布作為 k 函數(shù)的各向同性。由此可見，通過改變B 0的方向，可以獲得不同的回旋頻率

一些俄羅斯物理學(xué)家測(cè)試的技術(shù)包括使用一塊金屬板，該金屬板受到平行于板平面的磁場(chǎng) B0 的影響。這樣，單個(gè)電子的軌跡軸就包含在上述平面內(nèi)。

符號(hào)：該技術(shù)的一個(gè)變體由 Azbel-Kaner 幾何給出2

射頻場(chǎng)垂直于B 0發(fā)送。如果R 0 > δ，其中R 0是單個(gè)回旋加速器軌道的半徑，則只有一部分軌道將受到電磁場(chǎng)的影響。然而，穿過皮膚區(qū)域的電子可以吸收電磁場(chǎng)的能量，從而加速。在相反的情況下（即，如果它向場(chǎng)釋放能量），它會(huì)減速。類似的機(jī)制也發(fā)生在回旋加速器（粒子加速器）中；因此，量ω c 被稱為回旋頻率，在電磁學(xué)論文中被稱為拉莫爾頻率。

因此，我們預(yù)計(jì)會(huì)出現(xiàn)吸收峰（共振），但在電子向射頻場(chǎng)釋放能量的情況下也是如此。準(zhǔn)確地說，電子的周期運(yùn)動(dòng)在與B 0正交的平面上的投影必須與電磁場(chǎng)同相。如果上述運(yùn)動(dòng)的周期為T c = 2 π/ω c ，電磁場(chǎng)的周期為T = 2 π/ω ，則T c = nT ，其中n為正整數(shù)?；仡櫥匦l率ω c的表達(dá)式，我們得到共振條件：

返回電子與射頻場(chǎng)共振的靜磁場(chǎng)B 0的值。對(duì)于費(fèi)米面近似為球形的堿金屬，在n> 1的不同值下測(cè)量B 0的值，由此從等式(6)獲得有效質(zhì)量，然后對(duì)所獲得的結(jié)果進(jìn)行平均。對(duì)于氦溫度下的銅，請(qǐng)參閱參考資料。

結(jié)論

回旋共振實(shí)驗(yàn)不僅使我們能夠確定金屬和半導(dǎo)體中載流子的有效質(zhì)量，而且還為研究費(fèi)米表面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了一個(gè)極好的工具。